Aus einem Fudder.de Artikel:

Schon gewusst, was passiert, wenn man in ein Loch fällt, das durch die ganze Erde geht? Zugegeben ist das eine sehr hypothetische Situation, denn in dem einerseits unbezahlbaren und andererseits technisch nicht verwirklichbaren Loch würde es nach wenigen der über 12.700 Kilometer Tiefe sehr heiß werden. Aber theoretisch ist das durchaus vorstellbar.

Neben der Hitze sei hier auch vernachlässigt, dass das Erdinnere größtenteils flüssig ist und so ein Tunnel sich nicht halten könnte. Trotzdem soll die Jules Verne'sche Reise zum Mittelpunkt der Erde hier mal durchgespielt werden, und das mit der über 350 Jahren alten Erkenntnis von Isaac Newton, dass zwei Körper sich anziehen, abhängig von ihrem Gewicht und ihrer Entfernung.
Und um Newton nicht weiter zu bemühen, nehmen wir eine Birne und werfen sie in das Loch, das vom Nordpol zum Südpol reicht. Erde und Birne ziehen einander an, und die Birne fällt weiter, so lange noch mehr Erde unter der Frucht ist als darüber. Das geht bis zum Mittelpunkt so weiter. Dort sind die Anziehungskräfte in beide Richtungen gleich, doch die Birne hat ja noch Schwung.
Wie weit dieser sie bringt, hängt davon ab, ob unser theoretisches Loch ein Vakuum enthält oder ob es mit bremsender Luft gefüllt ist. Im Vakuum würde der Schwung so weit reichen, dass die Birne noch kurz am Südpol herausguckt, um dann wieder zurück gezogen zu werden. Wenn das Loch aber nicht luftleer ist, bremst die Luft unterwegs so stark, dass es die Frucht nicht mal bis zum Erdmantel der anderen Seite schaffen würde. Sie würde sich nach einer Weile in der Mitte einpendeln.

Einer der Forenteilnehmer hat sich nun gefragt: "Wie lange dauert es bis die Birne unten durchfällt", für den Fall des Vakuum-Zylinders, wohlgemerkt.

Ich habe mir diese Frage auch gestellt, aber auch nur weil ich sicher war dies berechnen zu können. Nach kurzer Überlegung musste ich aber feststellen dass ich hier an meine Grenzen stoße, denn die Berechnung ist keine einfache Fallberechnung nach s = a ∙ t² sondern etwas komplizierter. Der Grund liegt darin begraben dass sich a, die Beschleunigung durch die Gravitation, sich während des Falls verändert. Denn wenn die Birne ein Stück gefallen ist, wird sie nicht nur durch die Erde unter ihr angezogen, sondern die Erde über ihr zieht sie wieder ein Stückchen zurück. In der Mitte der Erde ist die Birne schwerelos, sie saust am Mittelpunkt nur durch ihren Schwung vorbei, und wird dann wieder zurück zur Mitte gezogen. Sie kommt erst auf der gegenüberliegenden Seite zum stehen (a=9.81, v=0), perfektes Vakuum und homogene Verteilung der Erdmasse vorausgesetzt.

Da ich aber nichts mehr mit harmonischen Schwingungen und Differentialgleichungen am Hut habe, jedoch ein praktischer Informatiker bin, entschied ich mich das Problem rein numerisch zu lösen. Und welches Programm erscheint einem Büroinformatiker sinnvoller für so eine Aufgabe als Excel?

Das Ergebnis meiner Excelberechnungen: Die Birne benötigt 42 Minuten und 12 Sekunden. Natürlich enthält die Berechnung kleine Ungenauigkeiten, sie ist mit 1 Sekunde Samplingintervall aufgelöst und schleppt dadurch leichte Fehler mit. Um die Abweichung zur perfekten mathematischen Berechnung zu finden habe ich ein wenig gegoogelt und folgende Seite entdeckt:  http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/98524,0.html. Ergebnis mit hilfe der Berechnung einer harmonischen Schwingung: 42 Minuten und 7 1/2 Sekunden.

Nur ein Promille Abweichung ... Nicht schlecht für 5 Minuten hinrnloses ge-Excle, hmm? :)

Die Berechnung findet ihr als Referenz auf meinem Server (klicky).

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